Tính độ dài tổng vectơ trong hình thoi

Xét hình thoi ABCD với cạnh bằng 1 và \(\widehat{BAD} = 120^\circ\). Tính \(\left|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}\right|\): Trong hình thoi, CD và BA song song, cùng hướng và bằng nhau, nên \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\). \[\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}\] Do đó \(\left|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}\right| = CA\). Xét tam giác ABC: \(BA = BC = 1\) (cạnh hình thoi). Đường chéo AC chia góc \(\widehat{BAD}\) làm đôi (tính chất hình thoi), nên: \[\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot \widehat{BAD} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\] Tam giác ABC cân tại B với góc đáy \(\widehat{BAC} = 60^\circ\), suy ra tam giác ABC đều, tức \(CA = 1\). \[\Rightarrow \left|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}\right| = 1\] Tính \(\left|\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}\right|\): Dùng tính chất kết hợp: \[\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} = \left(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}\right) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}\] \[\Rightarrow \left|\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}\right| = CA = 1\]