Chứng minh công thức diện tích tam giác theo tích vô hướng

Đề bài:

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - \left(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}\]

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cần chứng minh biểu thức chứa tích vô hướng ở vế phải bằng diện tích tam giác ABC ở vế trái.

Kiến thức cần dùng

Công thức diện tích tam giác \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\). Công thức tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Hệ thức lượng giác cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), suy ra \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\). Với \(0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ\) thì \(\sin A > 0\).

Phương pháp giải

Có một cách giải. Biến đổi vế phải: thay \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A\) vào biểu thức dưới dấu căn, rút nhân tử \(AB^2 \cdot AC^2\), dùng \(1 - \cos^2 A = \sin^2 A\), rồi khai căn để đưa về đúng công thức diện tích \(\dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\).

Ứng dụng thực tế

Khi biết tọa độ hai vectơ chỉ phương của hai cạnh xuất phát từ một đỉnh của một mảnh đất hình tam giác, em có thể tính diện tích mảnh đất đó mà không cần đo góc trực tiếp.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...