Giải tam giác và tìm trực tâm của tam giác ABC

a) Tính tọa độ các vectơ: \[\overrightarrow{AB} = (2-(-4);\; 4-1) = (6;\, 3)\] \[\overrightarrow{BC} = (2-2;\; -2-4) = (0;\, -6)\] \[\overrightarrow{AC} = (2-(-4);\; -2-1) = (6;\, -3)\] Độ dài ba cạnh: \[AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] \[BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6\] \[AC = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{5}\] Áp dụng định lí cosin (a = BC = 6, b = AC = \(3\sqrt{5}\), c = AB = \(3\sqrt{5}\)): \[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 6^2}{2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{45 + 45 - 36}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}\] \[\Rightarrow \widehat{A} \approx 53{,}13^\circ\] \[\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{36 + 45 - 45}{2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{36}{36\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\] \[\Rightarrow \widehat{B} \approx 63{,}435^\circ\] \[\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} \approx 180^\circ - 53{,}13^\circ - 63{,}435^\circ \approx 63{,}435^\circ\] Kết luận: Tam giác ABC có \(a = 6,\; b = c = 3\sqrt{5}\); \(\widehat{A} \approx 53{,}13^\circ,\; \widehat{B} = \widehat{C} \approx 63{,}435^\circ\). b) Gọi H(x; y). Khi đó: \[\overrightarrow{AH} = (x+4;\; y-1), \quad \overrightarrow{BH} = (x-2;\; y-4)\] H là trực tâm nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC, tức là: \[\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \quad \text{và} \quad \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\] Từ điều kiện thứ nhất (với \(\overrightarrow{BC} = (0; -6)\)): \[(x+4) \cdot 0 + (y-1) \cdot (-6) = 0 \Leftrightarrow -6(y-1) = 0 \Leftrightarrow y = 1\] Từ điều kiện thứ hai (với \(\overrightarrow{AC} = (6; -3)\)): \[(x-2) \cdot 6 + (y-4) \cdot (-3) = 0\] Thay \(y = 1\): \[6(x-2) + (1-4)(-3) = 0 \Leftrightarrow 6x - 12 + 9 = 0 \Leftrightarrow 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\] Vậy trực tâm H có tọa độ \(\left(\dfrac{1}{2};\, 1\right)\).