Biểu diễn miền nghiệm và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số tuyến tính

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\y \le 4\\x \le 5\\x + y \ge -1\end{array} \right.\] Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = -x - y\) với \((x;y)\) thỏa mãn hệ trên.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hệ gồm 4 bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cần vẽ miền nghiệm của hệ, xác định các đỉnh của đa giác miền nghiệm, rồi tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(F(x;y) = -x - y\) trên miền đó.

Kiến thức cần dùng

Cách vẽ miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vẽ đường thẳng biên, thử điểm O(0;0) để xác định nửa mặt phẳng chứa nghiệm). Miền nghiệm của hệ là phần chung của các miền nghiệm thành phần. Định lý: giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm tuyến tính \(F(x;y) = ax + by + c\) trên một miền đa giác đạt được tại một đỉnh của đa giác đó.

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Vẽ lần lượt 4 đường thẳng biên \(d_1: y - 2x = 2\), \(d_2: y = 4\), \(d_3: x = 5\), \(d_4: x + y = -1\). Dùng điểm O(0;0) để xác định nửa mặt phẳng chứa nghiệm cho từng bất phương trình. Phần giao của 4 nửa mặt phẳng là miền nghiệm của hệ — một tứ giác ABCD. Tìm tọa độ 4 đỉnh bằng cách giải các hệ phương trình từng cặp đường thẳng biên. Tính \(F\) tại 4 đỉnh rồi so sánh.

Ứng dụng thực tế

Một xưởng sản xuất phải thỏa mãn các ràng buộc về nguyên liệu và nhân công (mỗi ràng buộc là một bất phương trình). Bài toán tìm phương án sản xuất sao cho chi phí thấp nhất hoặc lợi nhuận cao nhất chính là dạng bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm tuyến tính trên miền đa giác như bài này.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương II

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...