Tìm giao điểm và chứng minh bất đẳng thức trên elip

Đề bài:

Cho elip (E): \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > b > 0\). a) Tìm các giao điểm \(A_1, A_2\) của (E) với trục hoành và các giao điểm \(B_1, B_2\) của (E) với trục tung. Tính \(A_1A_2\) và \(B_1B_2\). b) Xét một điểm bất kì \(M(x_o; y_o)\) thuộc (E). Chứng minh rằng \(b^2 \le x_o^2 + y_o^2 \le a^2\) và \(b \le OM \le a\). Chú ý: \(A_1A_2\) và \(B_1B_2\) tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và có độ dài lần lượt là \(2a\) và \(2b\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bài cho phương trình elip (E) với \(a > b > 0\). Câu a yêu cầu tìm giao điểm của (E) với hai trục tọa độ và tính khoảng cách giữa chúng. Câu b yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M bất kì trên elip.

Kiến thức cần dùng

Để tìm giao điểm với trục hoành thì cho \(y = 0\), với trục tung thì cho \(x = 0\) rồi thay vào phương trình elip. Công thức khoảng cách giữa hai điểm: \(A_1A_2 = |x_{A_2} - x_{A_1}|\). Công thức khoảng cách từ gốc O đến điểm M: \(OM = \sqrt{x_o^2 + y_o^2}\). Tính chất so sánh phân số: nếu \(a > b > 0\) thì \(\dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{b^2}\), từ đó so sánh các hạng tử trong phương trình elip.

Phương pháp giải

Câu a giải hệ phương trình gồm phương trình elip và \(y = 0\) (hoặc \(x = 0\)) để tìm tọa độ các giao điểm, sau đó tính khoảng cách. Câu b xuất phát từ đẳng thức \(\dfrac{x_o^2}{a^2} + \dfrac{y_o^2}{b^2} = 1\), dùng bất đẳng thức so sánh mẫu số để đánh giá tổng \(x_o^2 + y_o^2\) từ hai phía.

Ứng dụng thực tế

Elip xuất hiện trong thiên văn học — quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời là một elip. Nếu Mặt Trời nằm ở tâm elip đó, kết quả câu b cho em biết khoảng cách từ Trái Đất đến tâm dao động trong một khoảng xác định, không vượt quá \(a\) và không nhỏ hơn \(b\).

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương VII

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...