Chứng minh đẳng thức vectơ trong tứ giác ABCD

Đề bài:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\]

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Cần chứng minh ba biểu thức vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\).

Kiến thức cần dùng

Quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Tính chất trung điểm: nếu M là trung điểm AB thì \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\), tương tự nếu N là trung điểm CD thì \(\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}\).

Phương pháp giải

Có một hướng giải chính. Biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo hai đường đi khác nhau: qua A, D và qua B, C. Cộng hai biểu diễn đó lại để được \(2\overrightarrow{MN}\), sau đó dùng tính chất trung điểm để triệt tiêu các cặp vectơ ngược chiều. Với đẳng thức vế phải, dùng quy tắc ba điểm để biến đổi \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\) về dạng \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\).

Ứng dụng thực tế

Khi em kéo một tấm bảng hình tứ giác theo hai hướng khác nhau, lực tổng hợp tác dụng lên đường nối trung điểm hai cạnh đối diện liên quan trực tiếp đến tổng các vectơ lực — đây chính là ý nghĩa hình học của đẳng thức trên.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 9. Tích của một vecto với một số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...

Bài tập liên quan

Xem tất cả bài tập →