Tính độ rộng cột hình hypebol ở độ cao 5 m

Đặt hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa cột (chỗ hẹp nhất), trục Oy hướng thẳng đứng lên trên. Phương trình hypebol có dạng: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (với \(a, b > 0\)). Xác định \(a\): Chỗ hẹp nhất rộng 0,8 m, tức hypebol cắt trục hoành tại \(A_1(-0{,}4;\,0)\) và \(A_2(0{,}4;\,0)\). Thay \(A_2(0{,}4;\,0)\) vào phương trình: \[\frac{0{,}4^2}{a^2} - 0 = 1 \Rightarrow a^2 = 0{,}16 \Rightarrow a = 0{,}4.\] Xác định \(b\): Cột cao 6 m, gốc tọa độ ở giữa nên đỉnh cột có tung độ \(y = 3\). Tại đỉnh cột rộng 1 m nên hoành độ điểm đỉnh là \(x = 0{,}5\). Điểm \(E(0{,}5;\,3)\) thuộc hypebol, thay vào: \[\frac{0{,}5^2}{0{,}4^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{0{,}25}{0{,}16} - \frac{9}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{9}{b^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}.\] \[\Rightarrow b^2 = 16 \Rightarrow b = 4.\] Phương trình hypebol: \(\dfrac{x^2}{0{,}16} - \dfrac{y^2}{16} = 1\). Tính độ rộng tại độ cao 5 m: Độ cao 5 m tính từ đáy, gốc tọa độ cách đáy 3 m nên tung độ điểm cần tìm là \(y = 5 - 3 = 2\). Thay vào phương trình: \[\frac{x^2}{0{,}16} - \frac{2^2}{16} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{0{,}16} - \frac{1}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{0{,}16} = \frac{5}{4}.\] \[\Rightarrow x^2 = 0{,}16 \times \frac{5}{4} = 0{,}2 \Rightarrow x \approx \pm 0{,}45.\] Độ rộng cột tại độ cao 5 m là: \(2 \times 0{,}45 = 0{,}90\) m.