a) Ta tính độ dài của từng vecto.
\(\left|t\overrightarrow{u}\right| = |t|\left|\overrightarrow{u}\right|\)
\(\Rightarrow \left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right| = |k|\left|t\overrightarrow{u}\right| = |k|.|t|.\left|\overrightarrow{u}\right| = |kt|\left|\overrightarrow{u}\right|\)
\(\left|(kt)\overrightarrow{u}\right| = |kt|\left|\overrightarrow{u}\right|\)
Vậy \(\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right| = \left|(kt)\overrightarrow{u}\right| = |kt|\left|\overrightarrow{u}\right|\). Khẳng định a) đúng.
b) Xét hướng của \(k(t\overrightarrow{u})\) khi \(kt \ge 0\).
Trường hợp 1: \(k \ge 0, t \ge 0\).
Vecto \(t\overrightarrow{u}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{u}\) (vì \(t \ge 0\)). Vecto \(k(t\overrightarrow{u})\) cùng hướng với \(t\overrightarrow{u}\) (vì \(k \ge 0\)). Do đó \(k(t\overrightarrow{u})\) cùng hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Trường hợp 2: \(k < 0, t < 0\).
Vecto \(t\overrightarrow{u}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\) (vì \(t < 0\)). Vecto \(k(t\overrightarrow{u})\) ngược hướng với \(t\overrightarrow{u}\) (vì \(k < 0\)). Ngược hướng của ngược hướng chính là cùng hướng, nên \(k(t\overrightarrow{u})\) cùng hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Lại có \(kt \ge 0\) nên \((kt)\overrightarrow{u}\) cũng cùng hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Khẳng định b) đúng.
c) Xét hướng của \(k(t\overrightarrow{u})\) khi \(kt < 0\).
Trường hợp 1: \(k > 0, t < 0\).
Vecto \(t\overrightarrow{u}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\) (vì \(t < 0\)). Vecto \(k(t\overrightarrow{u})\) cùng hướng với \(t\overrightarrow{u}\) (vì \(k > 0\)). Do đó \(k(t\overrightarrow{u})\) ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Trường hợp 2: \(k < 0, t > 0\).
Vecto \(t\overrightarrow{u}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{u}\) (vì \(t > 0\)). Vecto \(k(t\overrightarrow{u})\) ngược hướng với \(t\overrightarrow{u}\) (vì \(k < 0\)). Do đó \(k(t\overrightarrow{u})\) ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Lại có \(kt < 0\) nên \((kt)\overrightarrow{u}\) cũng ngược hướng với \(\overrightarrow{u}\).
Khẳng định c) đúng.
d) Từ câu b) và c), hai vecto \(k(t\overrightarrow{u})\) và \((kt)\overrightarrow{u}\) luôn cùng hướng nhau. Từ câu a), hai vecto này có cùng độ dài \(|kt|\left|\overrightarrow{u}\right|\).
Vậy hai vecto \(k\left(t\overrightarrow{u}\right)\) và \(\left(kt\right)\overrightarrow{u}\) bằng nhau. Khẳng định d) đúng.
