Giải phương trình căn thức bằng cách bình phương hai vế

a) \(\sqrt{3x^2 - 6x + 1} = \sqrt{-2x^2 - 9x + 1}\)

Bình phương hai vế, ta được:

\(3x^2 - 6x + 1 = -2x^2 - 9x + 1\)

\(\Leftrightarrow 5x^2 + 3x = 0\)

\(\Leftrightarrow x(5x + 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -\dfrac{3}{5}\)

Thử lại:

- Với \(x = 0\): VT \(= \sqrt{1} = 1\), VP \(= \sqrt{1} = 1\). Thỏa mãn.

- Với \(x = -\dfrac{3}{5}\): VT \(= \sqrt{3 \cdot \dfrac{9}{25} + \dfrac{18}{5} + 1} = \sqrt{\dfrac{27}{25} + \dfrac{90}{25} + \dfrac{25}{25}} = \sqrt{\dfrac{142}{25}}\), VP \(= \sqrt{-2 \cdot \dfrac{9}{25} + \dfrac{27}{5} + 1} = \sqrt{-\dfrac{18}{25} + \dfrac{135}{25} + \dfrac{25}{25}} = \sqrt{\dfrac{142}{25}}\). Thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{0;\, -\dfrac{3}{5}\right\}\).

b) \(\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = \sqrt{x^2 - 7}\)

Bình phương hai vế, ta được:

\(2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 7\)

\(\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x-2) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\)

Thử lại:

- Với \(x = 1\): biểu thức dưới căn bên phải \(= 1 - 7 = -6 < 0\). Không thỏa mãn, loại.

- Với \(x = 2\): biểu thức dưới căn bên phải \(= 4 - 7 = -3 < 0\). Không thỏa mãn, loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.