Đổi đơn vị: 1,2 tỉ đồng = 1200 triệu đồng.
Gọi x là số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng (triệu đồng), y là số tiền đầu tư trái phiếu doanh nghiệp (triệu đồng). Khi đó \(x \ge 0,\ y \ge 0\).
Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là \(1200 - x - y\) (triệu đồng).
Điều kiện trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần trái phiếu ngân hàng:
\[1200 - x - y \ge 3x \Leftrightarrow 4x + y \le 1200.\]
Điều kiện đầu tư không quá 200 triệu vào trái phiếu doanh nghiệp: \(y \le 200\).
Hệ bất phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l}x \ge 0\\ y \ge 0\\ 4x + y \le 1200\\ y \le 200\end{array}\right.\]
Miền nghiệm là tứ giác OABC với các đỉnh:
\(O(0;\ 0)\), \(A(300;\ 0)\), \(B(250;\ 200)\), \(C(0;\ 200)\).
Lợi nhuận sau một năm:
\[F(x;y) = (1200 - x - y)\cdot 7\% + x \cdot 8\% + y \cdot 12\%\]
\[= 84 + 0{,}01x + 0{,}05y.\]
Thay tọa độ các đỉnh vào F:
\[F(0;\ 0) = 84;\]
\[F(300;\ 0) = 84 + 0{,}01 \cdot 300 + 0{,}05 \cdot 0 = 87;\]
\[F(250;\ 200) = 84 + 0{,}01 \cdot 250 + 0{,}05 \cdot 200 = 96{,}5;\]
\[F(0;\ 200) = 84 + 0{,}01 \cdot 0 + 0{,}05 \cdot 200 = 94.\]
F đạt giá trị lớn nhất là 96,5 tại \(x = 250,\ y = 200\).
Số tiền trái phiếu chính phủ: \(1200 - 250 - 200 = 750\) triệu đồng.
Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu đồng vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu đồng vào trái phiếu ngân hàng và 200 triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận sau một năm đạt lớn nhất là 96,5 triệu đồng.
