Chứng minh tọa độ vectơ qua tích vô hướng

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{u}\). Trong hệ trục Oxy với vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{b}\), gọi M và N lần lượt là hình chiếu của C lên trục Ox và Oy. Gọi tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) là \((x; y)\) và đặt \(\alpha = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{a})\). Xét hoành độ x: Trường hợp \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\): \[x = OM = |\overrightarrow{u}|\cos\alpha = |\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{a}|\cos\alpha = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a}\] (vì \(|\overrightarrow{a}| = 1\)). Trường hợp \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\): \[x = -OM = -|\overrightarrow{u}|\cos(180^\circ - \alpha) = |\overrightarrow{u}|\cos\alpha = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a}\] Vậy trong mọi trường hợp: \(x = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a}\). Chứng minh hoàn toàn tương tự với tung độ, ta được: \(y = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{b}\). Vậy vectơ \(\overrightarrow{u}\) có tọa độ là \((\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a}\,;\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{b})\). (đpcm) b) Từ câu a), \(\overrightarrow{u}\) có tọa độ \((\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a}\,;\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{b})\) trong hệ trục Oxy với vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{b}\). Theo biểu diễn vectơ qua vectơ đơn vị: \[\overrightarrow{u} = (\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{i} + (\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{j}\] Thay \(\overrightarrow{i} = \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{b}\): \[\overrightarrow{u} = (\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}\] (đpcm)