a) Giao điểm của hypebol với trục hoành thỏa mãn hệ:
\[\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\y = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^2}{a^2} = 1\\y = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \pm a\\y = 0\end{array}\right.\]
Vì hoành độ của \(A_1\) nhỏ hơn của \(A_2\), ta được: \(A_1(-a;\,0)\) và \(A_2(a;\,0)\).
b) Với mọi điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol:
\[\frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} \ge 1 \Rightarrow x^2 \ge a^2 \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x \le -a\\x \ge a\end{array}\right.\]
Nếu \(M\) thuộc nhánh bên trái trục tung thì \(x < 0\), kết hợp với \(x \le -a\) hoặc \(x \ge a\), suy ra \(x \le -a\).
Nếu \(M\) thuộc nhánh bên phải trục tung thì \(x > 0\), suy ra \(x \ge a\).
c) Gọi \(M_1(x_1; y_1)\) thuộc nhánh bên trái và \(M_2(x_2; y_2)\) thuộc nhánh bên phải. Theo câu b: \(x_1 \le -a\) và \(x_2 \ge a\).
Khoảng cách:
\[M_1M_2 = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \ge \sqrt{(x_2-x_1)^2} = |x_2-x_1|\]
Vì \(x_2 \ge a > 0\) và \(x_1 \le -a < 0\) nên \(x_2 - x_1 \ge a - (-a) = 2a > 0\), do đó:
\[M_1M_2 \ge |x_2 - x_1| \ge 2a\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\[\left\{\begin{array}{l}y_2 - y_1 = 0\\x_2 = a\\x_1 = -a\end{array}\right.\]
Thế \(x_1 = -a\) vào phương trình hypebol: \(\dfrac{a^2}{a^2} - \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y_1 = 0\). Tương tự \(y_2 = 0\), thỏa mãn \(y_1 = y_2\).
Vậy \(M_1M_2\) nhỏ nhất bằng \(2a\) khi \(M_1(-a;\,0)\) và \(M_2(a;\,0)\).
