Vì M nằm trên đoạn AB nên \( 0 < x < 4 \) và MB = 4 - x.
Diện tích hình tròn đường kính AB:
\[ S_0 = \pi \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4\pi \]
Diện tích hình tròn đường kính AM:
\[ S_1 = \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\pi x^2}{4} \]
Diện tích hình tròn đường kính MB:
\[ S_2 = \pi \left(\frac{4-x}{2}\right)^2 = \frac{\pi (4-x)^2}{4} \]
Diện tích phần nằm trong hình tròn lớn và ngoài hai hình tròn nhỏ:
\[ S(x) = S_0 - S_1 - S_2 = 4\pi - \frac{\pi x^2}{4} - \frac{\pi(4-x)^2}{4} \]
\[ = \pi\left(4 - \frac{x^2 + (4-x)^2}{4}\right) = \pi\left(4 - \frac{2x^2 - 8x + 16}{4}\right) = \frac{-x^2 + 4x}{2}\pi \]
Điều kiện đề bài: \( S(x) \le \dfrac{1}{2}(S_1 + S_2) \)
Tính \( S_1 + S_2 \):
\[ S_1 + S_2 = \frac{\pi x^2}{4} + \frac{\pi(4-x)^2}{4} = \frac{\pi(x^2 - 4x + 8) \cdot 2}{4} = \frac{\pi(x^2 - 4x + 8)}{2} \]
Bất phương trình trở thành:
\[ \frac{-x^2 + 4x}{2}\pi \le \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi(x^2 - 4x + 8)}{2} \]
Chia cả hai vế cho \( \pi > 0 \):
\[ \frac{-x^2 + 4x}{2} \le \frac{x^2 - 4x + 8}{4} \]
\[ 2(-x^2 + 4x) \le x^2 - 4x + 8 \]
\[ -2x^2 + 8x \le x^2 - 4x + 8 \]
\[ 3x^2 - 12x + 8 \ge 0 \]
Xét tam thức \( f(x) = 3x^2 - 12x + 8 \), có \( \Delta' = 36 - 24 = 12 > 0 \), hai nghiệm:
\[ x_1 = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3} \]
Vì \( a = 3 > 0 \), tam thức \( f(x) \ge 0 \) khi \( x \le x_1 \) hoặc \( x \ge x_2 \).
Kết hợp với điều kiện \( 0 < x < 4 \), tập giá trị x cần tìm là:
\[ x \in \left(0;\, \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\, 4\right) \]
