Tính độ dài vectơ hiệu và tổng trong tam giác đều

Tính \(\left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right|\): Theo quy tắc hiệu vectơ: \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\] \[\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{CB}\right| = CB = a.\] Tính \(\left|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right|\): Dựng điểm D sao cho ABDC là hình bình hành (BD song song và bằng AC). Khi đó: \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}\] \[\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right| = AD.\] Vì AB = AC = BD = CD = a nên hình bình hành ABDC là hình thoi. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AD và BC. Hai đường chéo hình thoi vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên AO ⊥ BC. Trong tam giác ABC đều, góc ABC = 60°. Xét tam giác ABO vuông tại O: \[AO = AB \cdot \sin(\angle ABO) = a \cdot \sin 60° = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\Rightarrow AD = 2AO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.\] Vậy \(\left|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right| = a\) và \(\left|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right| = a\sqrt{3}\).