a) \(\overrightarrow{AB} = (3 - 1;\, 4 - 2) = (2;\, 2)\)
\(\overrightarrow{CD} = (6 - (-1);\, 5 - (-2)) = (7;\, 7)\)
b) Nhận thấy \((2;\,2) = \dfrac{2}{7}(7;\,7)\), tức là \(\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{7}\overrightarrow{CD}\).
Vì tồn tại số thực \(k = \dfrac{2}{7} \neq 0\) sao cho \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}\), nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng phương.
c) \(\overrightarrow{AC} = (-1 - 1;\, -2 - 2) = (-2;\, -4)\)
\(\overrightarrow{BE} = (a - 3;\, 1 - 4) = (a - 3;\, -3)\)
Để \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BE}\) cùng phương:
\[\frac{a - 3}{-2} = \frac{-3}{-4} \Leftrightarrow a - 3 = -\frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\]
Vậy \(a = \dfrac{3}{2}\), tức \(E\!\left(\dfrac{3}{2};\,1\right)\).
d) Với \(a = \dfrac{3}{2}\):
\(\overrightarrow{AE} = \left(\dfrac{3}{2} - 1;\, 1 - 2\right) = \left(\dfrac{1}{2};\, -1\right)\)
Đặt \(\overrightarrow{AE} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}\), tức là:
\[\left(\frac{1}{2};\,-1\right) = m(2;\,2) + n(-2;\,-4) = (2m - 2n;\, 2m - 4n)\]
So sánh tọa độ:
\[\begin{cases} 2m - 2n = \dfrac{1}{2} \\ 2m - 4n = -1 \end{cases}\]
Trừ phương trình 1 cho phương trình 2: \(2n = \dfrac{3}{2} \Rightarrow n = \dfrac{3}{4}\)
Thay vào phương trình 1: \(2m = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2 \Rightarrow m = 1\)
Vậy \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
