Tìm tham số m để tam thức bậc hai dương với mọi x

Để \(x^2 + (m+1)x + 2m+3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), cần: \[a > 0 \quad \text{và} \quad \Delta < 0\] Ta có \(a = 1 > 0\) (thỏa mãn). Chỉ cần giải \(\Delta < 0\): \[\Delta = (m+1)^2 - 4(2m+3) < 0\] \[\Leftrightarrow m^2 + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\] \[\Leftrightarrow m^2 - 6m - 11 < 0\] Giải bất phương trình \(m^2 - 6m - 11 < 0\). Tìm nghiệm của \(m^2 - 6m - 11 = 0\): \[\Delta' = 9 + 11 = 20 > 0\] \[m_1 = 3 - \sqrt{20} = 3 - 2\sqrt{5}, \quad m_2 = 3 + \sqrt{20} = 3 + 2\sqrt{5}\] Vì hệ số \(a = 1 > 0\), tam thức \(m^2 - 6m - 11\) âm khi m nằm giữa hai nghiệm: \[3 - 2\sqrt{5} < m < 3 + 2\sqrt{5}\] Vậy với \(3 - 2\sqrt{5} < m < 3 + 2\sqrt{5}\) thì tam thức đã cho dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).