Tìm phương trình hyperbol xác định vị trí tàu thủy
Đề bài:
Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, xác định tàu thuỷ thuộc đường hyperbol nào. Viết phương trình chính tắc của hyperbol đó theo đơn vị kilômét.
Gọi M là vị trí tàu thu tín hiệu. Gọi \(t_A, t_B\) lần lượt là thời gian tín hiệu truyền từ trạm A, B đến M.
Tín hiệu từ A đến sớm hơn B là 0,0005 s, nên:
\[t_A - t_B = -0{,}0005 \text{ s}\]
Hiệu khoảng cách từ hai trạm đến tàu:
\[MA - MB = v \cdot t_A - v \cdot t_B = 292\,000 \times (-0{,}0005) = -146 \text{ km}\]
Gọi (H) là hyperbol chính tắc nhận A, B làm hai tiêu điểm và đi qua M. Theo định nghĩa hyperbol:
\[2a = |MA - MB| = |-146| = 146 \Rightarrow a = 73\]
Khoảng cách giữa hai tiêu điểm:
\[2c = AB = 300 \Rightarrow c = 150\]
Tính \(b^2\):
\[b^2 = c^2 - a^2 = 150^2 - 73^2 = 22\,500 - 5\,329 = 17\,171\]
Phương trình chính tắc của (H):
\[\frac{x^2}{5329} - \frac{y^2}{17171} = 1\]