Khảo sát tính chất hypebol và tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên hai nhánh

Đề bài:

Cho hypebol có phương trình: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\). a) Tìm các giao điểm \(A_1, A_2\) của hypebol với trục hoành, biết hoành độ của \(A_1\) nhỏ hơn của \(A_2\). b) Chứng minh: nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc nhánh bên trái trục tung thì \(x \le -a\); nếu \(M(x; y)\) thuộc nhánh bên phải trục tung thì \(x \ge a\). c) Tìm các điểm \(M_1, M_2\) lần lượt thuộc nhánh bên trái và nhánh bên phải của hypebol sao cho độ dài \(M_1M_2\) nhỏ nhất.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bài cho phương trình hypebol dạng chuẩn. Câu a yêu cầu tìm giao với trục hoành; câu b yêu cầu chứng minh ràng buộc về hoành độ của điểm trên mỗi nhánh; câu c tìm hai điểm trên hai nhánh có khoảng cách ngắn nhất.

Kiến thức cần dùng

Phương trình hypebol \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\); công thức khoảng cách giữa hai điểm \(M_1M_2 = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\); bất đẳng thức \(\dfrac{y^2}{b^2} \ge 0\) suy ra \(\dfrac{x^2}{a^2} \ge 1\); trị tuyệt đối \(|x_2 - x_1|\).

Phương pháp giải

Câu a thế \(y = 0\) vào phương trình hypebol rồi giải tìm \(x\). Câu b từ phương trình hypebol viết \(\dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1\), rồi kết hợp dấu của \(x\) trên từng nhánh để kết luận. Câu c đánh giá \(M_1M_2 \ge |x_2 - x_1| \ge a-(-a) = 2a\), sau đó xác định điều kiện dấu bằng xảy ra.

Ứng dụng thực tế

Hypebol xuất hiện trong thiết kế ăng-ten parabol và đường bay của vệ tinh. Nếu hai trạm thu sóng đặt tại hai nhánh đối xứng, em có thể dùng kết quả câu c để xác định khoảng cách gần nhất giữa hai trạm là bao nhiêu?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương VII

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...