Kiểm tra tính vuông góc và điều kiện của tích có hướng

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (a, b, c)\) và \(\overrightarrow{v} = (a'; b'; c')\). a) Chứng minh vectơ \(\overrightarrow{n} = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). b) \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) có mối quan hệ gì?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho vectơ \(\overrightarrow{n} = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'

Kiến thức cần dùng

\). Cần chứng minh \(\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{v}\), rồi xác định khi nào \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{0}\). b) KIẾN THỨC CẦN DÙNG: Tích vô hướng hai vectơ trong không gian: nếu \(\overrightarrow{a} = (x; y; z)\) và \(\overrightarrow{b} = (x'; y'; z')\) thì \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = xx' + yy' + zz'\). Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. Hai vectơ cùng phương khi vectơ này là bội số của vectơ kia.

Phương pháp giải

Câu a dùng một cách: tính trực tiếp \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v}\) theo công thức tích vô hướng, khai triển rồi nhóm các số hạng triệt tiêu nhau để được kết quả bằng 0. Câu b xét hệ phương trình thu được khi \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{0}\), phân tích theo từng trường hợp để kết luận hai vectơ cùng phương.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế đồ họa 3D, khi cần tìm vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng chứa hai cạnh của vật thể, người ta dùng đúng công thức tính \(\overrightarrow{n}\) như trên — em thấy công thức này xuất hiện ở đâu trong thực tế chưa?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...