Chứng minh hai đường thẳng song song và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_1: \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y-3}{1} = \dfrac{z-2}{2}\) và \(\Delta_2: \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{2}\). a) Chứng minh rằng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) dạng chính tắc trong không gian Oxyz. Cần chứng minh hai đường thẳng song song, sau đó tìm phương trình mặt phẳng chứa cả hai.

Kiến thức cần dùng

Hai đường thẳng \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương cùng phương và một điểm trên \(\Delta_1\) không thuộc \(\Delta_2\). Phương trình mặt phẳng qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}(A;B;C)\): \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song tính bằng tích có hướng \(\left[\vec{u_1}, \overrightarrow{AB}\right]\).

Phương pháp giải

Có một cách giải thống nhất cho cả hai phần. Phần a): đọc vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc, so sánh và kiểm tra điểm thuộc đường thẳng. Phần b): lấy một điểm trên mỗi đường thẳng, tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\), rồi tính tích có hướng \(\left[\vec{u_1}, \overrightarrow{AB}\right]\) để có vectơ pháp tuyến, từ đó viết phương trình mặt phẳng.

Ứng dụng thực tế

Khi thiết kế hai thanh ray song song cho tàu hỏa, kỹ sư cần xác định mặt phẳng chứa cả hai thanh ray để tính toán nền đường. Bài toán này mô phỏng đúng tình huống đó trong không gian ba chiều.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...