Khảo sát đạo hàm và cực tiểu của hàm số y = |x| tại x = 0

Đề bài:

Cho hàm số \(y = f(x) = |x|\). a) Tính các giới hạn \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) và \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}\). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\). b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại \(x = 0\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hàm số \(f(x) = |x|\), phần a yêu cầu tính hai giới hạn một phía của tỉ số hiệu để kiểm tra sự tồn tại của đạo hàm tại \(x = 0\); phần b yêu cầu dùng định nghĩa để chứng minh \(x = 0\) là điểm cực tiểu.

Kiến thức cần dùng

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm qua giới hạn tỉ số hiệu; điều kiện hàm số có đạo hàm tại \(x_0\) là giới hạn trái và giới hạn phải của tỉ số hiệu phải bằng nhau; định nghĩa cực tiểu: hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0\) nếu tồn tại \(h > 0\) sao cho \(f(x) > f(x_0)\) với mọi \(x \in (x_0 - h; x_0 + h)\), \(x \neq x_0\); cách viết \(|x|\) theo từng trường hợp dấu.

Phương pháp giải

Phần a: viết lại \(|x|\) theo dấu của \(x\) khi \(x \to 0^+\) và \(x \to 0^-\), tính từng giới hạn, so sánh hai kết quả để kết luận. Phần b: xác nhận hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), chọn \(h > 0\) bất kỳ, chứng minh với mọi \(x \in (-h; h)\), \(x \neq 0\) thì \(f(x) = |x| > 0 = f(0)\), sau đó kết luận theo định nghĩa.

Ứng dụng thực tế

Bạn đứng tại điểm 0 trên một con đường thẳng; dù bước sang trái hay sang phải, khoảng cách từ bạn đến điểm xuất phát đều tăng lên — điểm xuất phát chính là vị trí gần nhất, tức là điểm cực tiểu của hàm khoảng cách.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...