Xác định vị trí tương đối và tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \[d: \frac{x+2}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-3}{-2}\] \[d': \begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{cases}\] a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'. b) Tính góc giữa d và d'.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hai đường thẳng d và d' trong không gian Oxyz — một đường ở dạng chính tắc, một đường ở dạng tham số. Câu a yêu cầu xét vị trí tương đối, câu b yêu cầu tính góc giữa hai đường.

Kiến thức cần dùng

Từ phương trình đường thẳng, đọc vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường. Tích có hướng \(\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]\) dùng để kiểm tra hai đường có cùng phương không. Hai đường chéo nhau khi \(\overrightarrow{AB} \cdot \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \ne 0\). Góc giữa hai đường tính bằng: \(\cos(d, d') = \dfrac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}\).

Phương pháp giải

Có một cách giải thống nhất cho cả hai câu. Đọc vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) và điểm A, B từ hai phương trình. Tính tích có hướng \(\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]\) — nếu khác \(\overrightarrow{0}\) thì hai đường không song song, không trùng. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]\) — nếu khác 0 thì hai đường chéo nhau. Câu b dùng công thức cos góc giữa hai đường.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế cầu treo, hai dây cáp được căng theo hai hướng khác nhau trong không gian — kỹ sư cần xác định hai dây đó có giao nhau không và góc giữa chúng là bao nhiêu để tính lực tác dụng tại điểm neo.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 5

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...