Tính thể tích đất sét làm bình gốm bằng tích phân

Đề bài:

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn tồn tại đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị hàm số \[ y = \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 5 \quad (0 \le x \le 30) \] (x, y tính theo cm) quay quanh trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó cần dùng bao nhiêu \(\text{cm}^3\) đất sét, biết bình có độ dày không đổi là 1 cm?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bình gốm có mặt trong là mặt tròn xoay tạo bởi đồ thị \(f(x) = \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 5\) trên \([0;30]\) quay quanh Ox, độ dày bình là 1 cm. Cần tính thể tích phần đất sét tạo nên thành và đáy bình.

Kiến thức cần dùng

Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) quanh trục Ox: \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx\). Ngoài ra cần xác định đúng cận tích phân cho phần vỏ ngoài (thêm 1 cm ở đáy do đáy cũng dày 1 cm).

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Đặt \(f(x)\) là hàm mô tả mặt trong, \(g(x) = f(x) + 1\) mô tả mặt ngoài (cộng thêm độ dày 1 cm). Tính thể tích phần rỗng bên trong \(V_T = \pi\int_0^{30}[f(x)]^2\,dx\) và thể tích toàn bộ bình kể cả vỏ \(V_N = \pi\int_0^{31}[g(x)]^2\,dx\) (cận trên là 31 vì đáy dày thêm 1 cm). Thể tích đất sét là \(V = V_N - V_T\).

Ứng dụng thực tế

Khi em mua một cốc gốm handmade, thợ gốm cần biết chính xác lượng đất sét dùng để kiểm soát chi phí sản xuất — bài toán này chính là cách họ tính toán đó.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 4

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...