a) Đường thẳng \(y = x+1\) cắt trục hoành tại \(x = -1\). Quan sát hình vẽ, hình phẳng gồm hai tam giác vuông.
Tam giác bên trái (trên đoạn \([-2, -1]\), phía dưới trục hoành): đáy \(= 1\), chiều cao \(= |f(-2)| = |-1| = 1\).
Tam giác bên phải (trên đoạn \([-1, 1]\), phía trên trục hoành): đáy \(= 2\), chiều cao \(= f(1) = 2\).
\[S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\]
b) Vì \(f(x) = x+1 \leq 0\) khi \(x \in [-2, -1]\) và \(f(x) = x+1 \geq 0\) khi \(x \in [-1, 1]\), ta tách:
\[\int_{-2}^{1}|x+1|\,dx = \int_{-2}^{-1}|x+1|\,dx + \int_{-1}^{1}|x+1|\,dx\]
\[= -\int_{-2}^{-1}(x+1)\,dx + \int_{-1}^{1}(x+1)\,dx\]
Tính từng phần:
\[-\int_{-2}^{-1}(x+1)\,dx = -\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-2}^{-1} = -\left[\left(\frac{1}{2}-1\right)-\left(\frac{4}{2}-2\right)\right] = -\left[-\frac{1}{2} - 0\right] = \frac{1}{2}\]
\[\int_{-1}^{1}(x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right) = \frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\]
Vậy:
\[\int_{-2}^{1}|x+1|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\]
So sánh: \(\int_{-2}^{1}|f(x)|\,dx = \frac{5}{2} = S\).
a) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits_{-2}^{1} |f(x)|\,dx\) và so sánh với \(S\).