a) Năm 2000 ứng với \(t = 0\):
\[N(0) = \frac{25 \cdot 0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2 \text{ (nghìn người)}.\]
Năm 2015 ứng với \(t = 15\):
\[N(15) = \frac{25 \cdot 15 + 10}{15 + 5} = \frac{375 + 10}{20} = \frac{385}{20} = 19{,}25 \text{ (nghìn người)}.\]
b) Tính đạo hàm \(N'(t)\):
\[N'(t) = \left(\frac{25t+10}{t+5}\right)' = \frac{(25t+10)'(t+5) - (25t+10)(t+5)'}{(t+5)^2}\]
\[= \frac{25(t+5) - (25t+10) \cdot 1}{(t+5)^2} = \frac{25t + 125 - 25t - 10}{(t+5)^2} = \frac{115}{(t+5)^2}.\]
Vì \((t+5)^2 > 0\) với mọi \(t \ge 0\) nên \(N'(t) = \dfrac{115}{(t+5)^2} > 0\) với mọi \(t \ge 0\). Theo định lí, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên \([0; +\infty)\), tức dân số luôn tăng.
Tính giới hạn:
\[\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{25t+10}{t+5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{25 + \dfrac{10}{t}}{1 + \dfrac{5}{t}} = \frac{25 + 0}{1 + 0} = 25.\]
Kết luận: \(N'(t) > 0\) với mọi \(t \ge 0\) nên dân số liên tục tăng. Tuy nhiên \(\lim\limits_{t \to +\infty} N(t) = 25\), nghĩa là dù thời gian tăng mãi, dân số cũng chỉ tiến gần đến 25 nghìn người mà không bao giờ đạt tới hoặc vượt qua ngưỡng đó.
