Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = eˣ, y = x, x = 0 và x = 1

Đề bài:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \ (y = e^x,\ y = x,\ x = 0\) và \(x = 1\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bài cho bốn đường giới hạn: \(y = e^x\), \(y = x\), \(x = 0\) và \(x = 1\). Cần tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường đó trên đoạn \([0;1]\).

Kiến thức cần dùng

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f(x)\) và \(g(x)\) trên \([a;b]\): \(S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\). Cần xét dấu của \(e^x - x\) trên \([0;1]\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Nguyên hàm của \(e^x\) là \(e^x\), nguyên hàm của \(x\) là \(\dfrac{x^2}{2}\).

Phương pháp giải

Một cách giải. So sánh \(e^x\) và \(x\) trên \([0;1]\): vì \(e^x \geq 1 > x\) với \(x \in [0;1)\) và \(e^1 > 1\), nên \(e^x > x\) trên toàn đoạn \([0;1]\). Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi tính tích phân \(\int_0^1 (e^x - x)\,dx\).

Ứng dụng thực tế

Giả sử lợi nhuận của một cửa hàng trong giờ thứ \(t\) tăng theo hàm \(e^t\) (triệu đồng/giờ) còn chi phí vận hành tăng tuyến tính theo \(t\). Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị giúp ước tính tổng lợi nhuận ròng trong khoảng thời gian nhất định.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 4

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...