Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Oxyz

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = -1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = -1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.\)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) dưới dạng phương trình tham số. Cần xác định vị trí tương đối của chúng (song song, trùng nhau, cắt nhau hay chéo nhau).

Kiến thức cần dùng

Cho \(\Delta_1\) qua \(A_1\) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta_2\) qua \(A_2\) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\): - \(\Delta_1 // \Delta_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{u_1}\) cùng phương \(\overrightarrow{u_2}\) và \(A_1 \notin \Delta_2\) - \(\Delta_1 \equiv \Delta_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{u_1}\) cùng phương \(\overrightarrow{u_2}\) và \(A_1 \in \Delta_2\) - Chéo nhau \(\Leftrightarrow \overrightarrow{A_1A_2}.\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \ne 0\) - Cắt nhau \(\Leftrightarrow \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \ne \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{A_1A_2}.\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = 0\)

Phương pháp giải

Có một cách giải. Đọc vectơ chỉ phương và điểm thuộc mỗi đường thẳng từ phương trình tham số. Kiểm tra \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) có cùng phương không — nếu không cùng phương thì tính tích có hướng \(\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]\), rồi tính tích vô hướng với \(\overrightarrow{A_1A_2}\) để phân biệt cắt nhau hay chéo nhau.

Ứng dụng thực tế

Hai đường ray xe lửa trong không gian có thể song song, giao nhau hoặc chéo nhau (như đường ray trên cầu vượt và đường ray bên dưới). Bài toán này giúp xác định hai đường thẳng trong không gian có thực sự gặp nhau hay không, ứng dụng trong thiết kế cầu đường và kiến trúc 3D.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...