Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

a) \(y = -x^3 + 3x + 1\)

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

\(y' = -3x^2 + 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Xét dấu y':

• Trên \((-\infty; -1)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.
• Trên \((-1; 1)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.
• Trên \((1; +\infty)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.

Tại \(x = -1\): y' đổi dấu từ âm sang dương → hàm đạt cực tiểu: \(y_{CT} = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1\).

Tại \(x = 1\): y' đổi dấu từ dương sang âm → hàm đạt cực đại: \(y_{CĐ} = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right) = +\infty\)

\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\!\left(-1 + \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right) = -\infty\)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm với trục tung: \((0;\, 1)\).

Điểm cực đại: \((1;\, 3)\); điểm cực tiểu: \((-1;\, -1)\).

Tâm đối xứng của đồ thị: \((0;\, 1)\).

b) \(y = x^3 + 3x^2 - x - 1\)

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

\(y' = 3x^2 + 6x - 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \dfrac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3}\)

Đặt \(x_1 = \dfrac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\), \(x_2 = \dfrac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\) (với \(x_1 < x_2\)).

Xét dấu y' (hệ số \(a = 3 > 0\)):

• Trên \((-\infty;\, x_1)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.
• Trên \((x_1;\, x_2)\): \(y' < 0\) — hàm số nghịch biến.
• Trên \((x_2;\, +\infty)\): \(y' > 0\) — hàm số đồng biến.

Tại \(x_1 = \dfrac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}\): y' đổi dấu từ dương sang âm → hàm đạt cực đại:

\(y_{CĐ} = \dfrac{18 + 16\sqrt{3}}{9}\)

Tại \(x_2 = \dfrac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}\): y' đổi dấu từ âm sang dương → hàm đạt cực tiểu:

\(y_{CT} = \dfrac{18 - 16\sqrt{3}}{9}\)

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\!\left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}\right) = -\infty\)

\(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\!\left(1 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3}\right) = +\infty\)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm với trục tung: \((0;\, -1)\).

Hai điểm \((-1;\, 2)\) và \((1;\, 2)\) thuộc đồ thị.

Tâm đối xứng của đồ thị: \((-1;\, 2)\).