Phương trình mặt cầu trong không gian

Định nghĩa: Mặt cầu tâm \( I(a; b; c) \), bán kính \( R > 0 \) là tập hợp các điểm \( M(x; y; z) \) trong không gian thỏa mãn \( IM = R \). Ta có \( IM = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2} \), nên phương trình mặt cầu là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trường hợp riêng: mặt cầu tâm \( O(0; 0; 0) \), bán kính \( R \) có phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \). Dạng tổng quát: Khai triển phương trình chuẩn, đặt \( D = -2a,\ E = -2b,\ F = -2c,\ G = a^2 + b^2 + c^2 - R^2 \), ta được: \[ x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 \] Phương trình này là mặt cầu khi và chỉ khi \( D^2 + E^2 + F^2 - 4G > 0 \). Khi đó: - Tâm: \( I\!\left(-\dfrac{D}{2};\ -\dfrac{E}{2};\ -\dfrac{F}{2}\right) \) - Bán kính: \( R = \dfrac{\sqrt{D^2 + E^2 + F^2 - 4G}}{2} \) Ví dụ — Đọc tâm và bán kính từ phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0 \): Hoàn chỉnh bình phương từng nhóm: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 6z + 9) = -5 + 4 + 1 + 9 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9 \] Vế phải bằng \( 9 > 0 \), nên đây là mặt cầu tâm \( I(2; -1; 3) \), bán kính \( R = 3 \).