Tìm trọng tâm tam giác và điểm trên trục Oz để hai đường thẳng vuông góc

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(2; -1; 3)\), \(B(1; 1; -1)\) và \(C(-1; 0; 2)\). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho ba điểm A, B, C trong không gian Oxyz. Phần a yêu cầu tìm trọng tâm G của tam giác ABC. Phần b yêu cầu tìm điểm M nằm trên trục Oz sao cho BM vuông góc AC.

Kiến thức cần dùng

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác: \(G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)\). Điểm thuộc trục Oz có dạng \(M(0; 0; z)\). Điều kiện hai vectơ \(\vec{a}=(x;y;z)\) và \(\vec{b}=(x';y';z')\) vuông góc: \(xx' + yy' + zz' = 0\).

Phương pháp giải

Phần a thay trực tiếp tọa độ vào công thức trọng tâm. Phần b đặt \(M(0;0;z)\), tính \(\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{AC}\), sau đó lập phương trình \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\) để tìm z.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế kiến trúc 3D, khi cần đặt một cột đứng thẳng theo trục Oz sao cho đường nối từ cột đến một điểm cố định vuông góc với một thanh ngang cho trước, ta cũng giải bài toán tương tự để xác định vị trí đặt cột.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 2

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...