Phân tích hàm cầu và khảo sát hàm số phân thức

a) Từ \(p = \dfrac{354}{1+0{,}01x}\), nhân cả hai vế với \((1+0{,}01x)\): \[p(1+0{,}01x) = 354 \Rightarrow p + 0{,}01px = 354 \Rightarrow x = \frac{354-p}{0{,}01p}.\] Để \(x \ge 0\) và \(p > 0\), cần \(354 - p \ge 0\), tức \(p \le 354\). Tập xác định của hàm số \(x(p)\) là \((0;\ 354]\). Khi \(p = 240\): \[x = \frac{354 - 240}{0{,}01 \times 240} = \frac{114}{2{,}4} = 47{,}5.\] Vậy khi giá bán là 240 nghìn đồng, bán được 47,5 đơn vị sản phẩm. b) Khảo sát hàm số \(x(p) = \dfrac{354-p}{0{,}01p}\) trên \((0;\ 354]\). Viết lại: \(x(p) = \dfrac{35400}{p} - 100\). Tập xác định: \((0;\ 354]\). Đạo hàm: \[x'(p) = -\frac{35400}{p^2} < 0 \quad \text{với mọi } p \in (0;\ 354].\] Hàm số nghịch biến trên \((0;\ 354)\), không có cực trị. Giới hạn và tiệm cận: \[\lim_{p \to 0^+} x(p) = \lim_{p \to 0^+} \frac{354-p}{0{,}01p} = +\infty.\] Đồ thị có tiệm cận đứng \(p = 0\). Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: Đồ thị cắt trục hoành tại \((354;\ 0)\), đi qua các điểm \((300;\ 18)\) và \((200;\ 77)\). Nhận xét từ đồ thị: - Vì \(x'(p) < 0\), số lượng sản phẩm bán được giảm khi giá bán tăng. Khi \(p = 354\) nghìn đồng thì \(x = 0\), tức không bán được sản phẩm nào. - Ý nghĩa của \(\displaystyle\lim_{p \to 0^+} x(p) = +\infty\): giá bán càng tiệm cận về 0 thì số lượng sản phẩm bán được tăng không giới hạn, nghĩa là giá càng thấp thì nhu cầu mua hàng càng lớn.