Chứng minh đẳng thức vectơ trong hình chóp S.ABC

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho \(CN = 2BN\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{AB}\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hình chóp S.ABC với M trên SA thỏa \(SM = 2AM\), N trên BC thỏa \(CN = 2BN\). Cần chứng minh đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{AB}\).

Kiến thức cần dùng

Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C bất kì, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Tích của số thực k với vectơ: nếu M chia SA sao cho \(SM = 2AM\) thì M chia đoạn SA theo tỉ lệ 2:1 kể từ S, suy ra \(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA}\). Tương tự, N trên BC với \(CN = 2BN\) suy ra \(\overrightarrow{CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\).

Phương pháp giải

Có một cách giải. Phân tích \(\overrightarrow{MN}\) theo đường gãy qua các điểm trung gian A, C: viết \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}\), sau đó thay từng vectơ bằng biểu thức tương ứng qua \(\overrightarrow{SA}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) rồi thu gọn.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế cầu dây văng, các điểm neo dây được xác định theo tỉ lệ trên thanh dầm — tính toán vị trí và lực kéo giữa hai điểm neo đó dùng đúng nguyên lý phân tích vectơ như bài này.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 6. Vectơ trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...