Tính góc và tích vô hướng các cặp vectơ trong lăng trụ tứ giác đều
Đề bài:
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Tính góc giữa các cặp vectơ sau và tính tích vô hướng của mỗi cặp:
a) \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{C'C}\);
b) \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{BC}\);
c) \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'A'}\).
a) Vì AA' // CC' và AA', CC' là các cạnh bên của lăng trụ, nên \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{C'C}\) ngược hướng nhau.
Suy ra \(\left(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{C'C}\right) = 180^\circ\).
Tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{C'C} = |\overrightarrow{AA'}| \cdot |\overrightarrow{C'C}| \cdot \cos 180^\circ = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4.\]
b) Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\).
Mặt A'ADD' là hình chữ nhật nên \(AA' \perp AD\), tức \(\widehat{A'AD} = 90^\circ\).
Do đó:
\[\left(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BC}\right) = \left(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{AD}\right) = 90^\circ.\]
Tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AA'}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos 90^\circ = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0.\]
c) Vì A'ABB' là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
Vì ABCD là hình vuông cạnh 1 nên \(AC = \sqrt{2}\) và \(\widehat{CAB} = 45^\circ\).
Tính tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'A'} = -\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = -|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos 45^\circ = -\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1.\]
Tính góc giữa hai vectơ:
\[\cos\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{B'A'}\right) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'A'}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{B'A'}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Suy ra \(\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{B'A'}\right) = 135^\circ\).