Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với O là trung điểm của AC, trục Oy dọc theo AC, trục Ox theo hướng OB, trục Oz thẳng đứng hướng lên.
Gọi A, B, C là ba chân cột tương ứng với đỉnh mái A' (cao 7 m), B' (cao 6 m), C' (cao 5 m).
Vì ABC là tam giác đều cạnh 4 m, BO là đường cao đồng thời là trung tuyến nên:
\[AO = OC = \frac{AC}{2} = 2 \text{ m}\]
\[BO = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ m}\]
Tọa độ các điểm:
\[A' = (0;\, -2;\, 7),\quad B' = (2\sqrt{3};\, 0;\, 6),\quad C' = (0;\, 2;\, 5)\]
Tính các vectơ:
\[\overrightarrow{A'B'} = (2\sqrt{3};\, 2;\, -1)\]
\[\overrightarrow{A'C'} = (0;\, 4;\, -2)\]
Tích có hướng:
\[\left[\overrightarrow{A'B'},\, \overrightarrow{A'C'}\right] = \left(\begin{vmatrix}2 & -1\\4 & -2\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}-1 & 2\sqrt{3}\\-2 & 0\end{vmatrix};\, \begin{vmatrix}2\sqrt{3} & 2\\0 & 4\end{vmatrix}\right) = (0;\, 4\sqrt{3};\, 8\sqrt{3})\]
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mái:
\[\vec{n} = \frac{1}{4\sqrt{3}}(0;\, 4\sqrt{3};\, 8\sqrt{3}) = (0;\, 1;\, 2)\]
Mặt sàn trùng mặt phẳng Oxy nên có vectơ pháp tuyến \(\vec{k} = (0;\, 0;\, 1)\).
Góc giữa mái nhà và mặt sàn:
\[\cos\alpha = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{k}|} = \frac{|0\cdot0 + 1\cdot0 + 2\cdot1|}{\sqrt{0^2+1^2+2^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\]
\[\Rightarrow \alpha \approx 26{,}6^\circ\]
Vậy mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc khoảng \(26{,}6^\circ\).
