Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

a) \(y = \dfrac{2x^2 - x + 4}{x - 1}\) 1. Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Sự biến thiên: Chia đa thức: \(y = 2x + 1 + \dfrac{5}{x - 1}\). Đạo hàm: \(y' = 2 - \dfrac{5}{(x-1)^2}\). \(y' = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow x - 1 = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{2 - \sqrt{10}}{2}\) hoặc \(x = \dfrac{2 + \sqrt{10}}{2}\). Xét dấu \(y'\): - Trên \(\left(-\infty;\, \dfrac{2-\sqrt{10}}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{2+\sqrt{10}}{2};\, +\infty\right)\): \(y' > 0\), hàm đồng biến. - Trên \(\left(\dfrac{2-\sqrt{10}}{2};\, 1\right)\) và \(\left(1;\, \dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\right)\): \(y' < 0\), hàm nghịch biến. Cực đại tại \(x = \dfrac{2-\sqrt{10}}{2}\): \(y_{CĐ} = 3 - 2\sqrt{10}\). Cực tiểu tại \(x = \dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\): \(y_{CT} = 3 + 2\sqrt{10}\). Tiệm cận: - \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\), \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty\) → tiệm cận đứng \(x = 1\). - \(\lim_{x \to \pm\infty} \left[y - (2x+1)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5}{x-1} = 0\) → tiệm cận xiên \(y = 2x + 1\). Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Giao với trục tung: \((0;\, -4)\). Đồ thị không cắt trục hoành (tử \(2x^2 - x + 4 > 0\) với mọi \(x\)). Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận \(I(1;\, 3)\). --- b) \(y = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}\) 1. Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 2. Sự biến thiên: Chia đa thức: \(y = x - 1 + \dfrac{4}{x + 3}\). Đạo hàm: \(y' = 1 - \dfrac{4}{(x+3)^2}\). \(y' = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 4 \Leftrightarrow x + 3 = \pm 2 \Leftrightarrow x = -1\) hoặc \(x = -5\). Xét dấu \(y'\): - Trên \((-\infty;\, -5)\) và \((-1;\, +\infty)\): \(y' > 0\), hàm đồng biến. - Trên \((-5;\, -3)\) và \((-3;\, -1)\): \(y' < 0\), hàm nghịch biến. Cực đại tại \(x = -5\): \(y_{CĐ} = -5 - 1 + \dfrac{4}{-5+3} = -6 + (-2) = -8\). Cực tiểu tại \(x = -1\): \(y_{CT} = -1 - 1 + \dfrac{4}{-1+3} = -2 + 2 = 0\). Tiệm cận: - \(\lim_{x \to -3^-} y = -\infty\), \(\lim_{x \to -3^+} y = +\infty\) → tiệm cận đứng \(x = -3\). - \(\lim_{x \to \pm\infty} \left[y - (x-1)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{x+3} = 0\) → tiệm cận xiên \(y = x - 1\). Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Giao với trục tung: \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}\), điểm \(\left(0;\, \dfrac{1}{3}\right)\). Giao với trục hoành: \(y = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1\), điểm \((-1;\, 0)\). Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận \(I(-3;\, -4)\).