Chứng minh đẳng thức tích vô hướng trong tứ diện ABCD

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}\) b) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = 0\)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tứ diện ABCD cho trước. Cần chứng minh hai đẳng thức tích vô hướng bằng cách biến đổi vế phải về vế trái (hoặc ngược lại).

Kiến thức cần dùng

Quy tắc ba điểm (quy tắc cộng vectơ): với ba điểm bất kì A, B, C thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Tính chất phân phối của tích vô hướng: \(\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}.\vec{b} + \vec{a}.\vec{c}\). Tính chất giao hoán: \(\vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a}\). Và \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}\).

Phương pháp giải

Một cách — biến đổi vế phải của mỗi đẳng thức về vế trái. Câu a: đổi \(\overrightarrow{DC}\) thành \(-\overrightarrow{CD}\) rồi đặt nhân tử chung \(\overrightarrow{CD}\), sau đó dùng quy tắc ba điểm để thu gọn. Câu b: thay \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}\), khai triển rồi nhóm các hạng tử triệt tiêu nhau.

Ứng dụng thực tế

Trong thực tế, khi phân tích lực tác động lên một vật thể trong không gian ba chiều, kỹ sư thường cần kiểm tra xem tổng công của các lực có bằng 0 không — đây chính là dạng bài tương tự câu b.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 6. Vectơ trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...