Dạng chuẩn để nhận dạng: \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\). Tâm \(I(a; b; c)\), bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\).
a) Phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 5z + 30 = 0\) tương ứng với \(a = 1,\ b = 0,\ c = \dfrac{5}{2},\ d = 30\).
\[a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + 0 + \frac{25}{4} - 30 = -\frac{91}{4} < 0\]
Phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
b) Phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z = 0\) tương ứng với \(a = 2,\ b = -1,\ c = 1,\ d = 0\).
\[a^2 + b^2 + c^2 - d = 4 + 1 + 1 - 0 = 6 > 0\]
Đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(2;\,-1;\,1)\) và bán kính \(R = \sqrt{6}\).
c) Phương trình \(x^3 + y^3 + z^3 - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\) chứa các số hạng bậc 3 nên không phải là phương trình mặt cầu.
d) Phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0\) tương ứng với \(a = 0,\ b = 0,\ c = 0,\ d = 5\).
\[a^2 + b^2 + c^2 - d = 0 + 0 + 0 - 5 = -5 < 0\]
Phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
Kết luận: Chỉ có phương trình ở câu b là phương trình mặt cầu, tâm \(I(2;\,-1;\,1)\), bán kính \(R = \sqrt{6}\).
