Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức

a) 1. Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Sự biến thiên: Tính đạo hàm: \[y' = \frac{2(x+1) - (2x+1)\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} > 0, \quad \forall x \neq -1.\] Hàm số đồng biến trên \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\). Hàm số không có cực trị. Tiệm cận: \[\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2\] \[\Rightarrow y = 2 \text{ là tiệm cận ngang.}\] \[\lim_{x \to -1^-} \frac{2x+1}{x+1} = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{2x+1}{x+1} = -\infty\] \[\Rightarrow x = -1 \text{ là tiệm cận đứng.}\] Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Giao điểm với trục tung: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\), điểm \((0; 1)\). Giao điểm với trục hoành: \(y = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}\), điểm \(\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)\). Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận: \(I(-1; 2)\). Hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận là các trục đối xứng của đồ thị. b) 1. Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Sự biến thiên: Tính đạo hàm: \[y' = \frac{1\cdot(1-x) - (x+3)\cdot(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x + x + 3}{(1-x)^2} = \frac{4}{(1-x)^2} > 0, \quad \forall x \neq 1.\] Hàm số đồng biến trên \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\). Hàm số không có cực trị. Tiệm cận: \[\lim_{x \to +\infty} \frac{x+3}{1-x} = -1, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x+3}{1-x} = -1\] \[\Rightarrow y = -1 \text{ là tiệm cận ngang.}\] \[\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{1-x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{x+3}{1-x} = -\infty\] \[\Rightarrow x = 1 \text{ là tiệm cận đứng.}\] Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Giao điểm với trục tung: \(x = 0 \Rightarrow y = 3\), điểm \((0; 3)\). Giao điểm với trục hoành: \(y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\), điểm \((-3; 0)\). Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận: \(I(1; -1)\).