Skip to main content

Chứng minh ABCD là hình bình hành qua điều kiện tổng vectơ

Đề bài:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài
Cho hình chóp S.ABCD. Cần chứng minh tương đương hai chiều: ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\).
Kiến thức cần dùng
Quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Tính chất trung điểm: nếu O là trung điểm AC thì \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}\). Định nghĩa hình bình hành qua vectơ: ABCD là hình bình hành khi \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\), tức AB song song và bằng CD. Hiệu hai vectơ cùng điểm gốc: \(\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BA}\).
Phương pháp giải
Bài này cần chứng minh hai chiều. Chiều thuận (ABCD là hình bình hành ⟹ đẳng thức vectơ): gọi O là tâm hình bình hành, phân tích mỗi vectơ qua S bằng quy tắc ba điểm rồi dùng tính chất trung điểm để thu gọn. Chiều đảo (đẳng thức vectơ ⟹ ABCD là hình bình hành): biến đổi đẳng thức đã cho sang dạng \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\), từ đó kết luận AB // CD và AB = CD.
Ứng dụng thực tế
Khi bốn cột nhà A, B, C, D tạo thành hình bình hành, dầm nối hai đường chéo AC và BD sẽ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường — tính chất này giúp kỹ sư kiểm tra độ đối xứng của kết cấu xây dựng.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài họcBài 6. Vectơ trong không gian

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...