Hệ trục tọa độ trong không gian
Đề bài:
Hệ trục tọa độ trong không gian là hệ gồm ba trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau và cùng xuất phát từ một điểm gốc O. Ba trục này xác định một hệ tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian, ký hiệu Oxyz.
Mỗi điểm M trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực \((x; y; z)\) gọi là tọa độ của điểm M trong hệ Oxyz, trong đó:
- \(x\) là tọa độ trên trục Ox (hoành độ)
- \(y\) là tọa độ trên trục Oy (tung độ)
- \(z\) là tọa độ trên trục Oz (cao độ)
Vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là \(\vec{i} = (1; 0; 0)\), \(\vec{j} = (0; 1; 0)\), \(\vec{k} = (0; 0; 1)\).
Mọi vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) đều được biểu diễn dưới dạng:
\[ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} \]
Công thức tính độ dài vectơ:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1; y_1; z_1)\) và \(B(x_2; y_2; z_2)\):
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB:
\[ I = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2};\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC với \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\):
\[ G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3};\ \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3};\ \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \]