a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_\alpha} = (5; 2; -4)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_\beta} = (10; 4; -2)\).
Xét tỉ số: \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{-4}{-2} = 2\).
Vì \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{-4}{-2}\) nên \(\overrightarrow{n_\alpha}\) và \(\overrightarrow{n_\beta}\) không cùng phương. Do đó, \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.
b) Thay \(M(1; -3; 5)\) vào phương trình \(\left( \alpha \right)\):
\[5 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) - 4 \cdot 5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = -15 \neq 0\]
Vậy \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay \(M(1; -3; 5)\) vào phương trình \(\left( \beta \right)\):
\[10 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) - 2 \cdot 5 + 12 = 10 - 12 - 10 + 12 = 0\]
Vậy \(M\) thuộc \(\left( \beta \right)\).
c) Mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên nhận \(\overrightarrow{n_\alpha} = (5; 2; -4)\) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(1; -3; 5)\) thuộc (P), phương trình mặt phẳng (P) là:
\[5(x - 1) + 2(y + 3) - 4(z - 5) = 0\]
\[\Leftrightarrow 5x - 5 + 2y + 6 - 4z + 20 = 0\]
\[\Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0\]
