Khảo sát hàm số nồng độ chất khử trùng trong bể nước

Đề bài:

Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút. b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với \(t \ge 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này. c) Giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bể ban đầu có 200 lít nước, mỗi phút thêm 40 lít nước và 20 gam chất khử trùng. Cần lập công thức nồng độ chất khử trùng theo t, rồi khảo sát hàm số đó.

Kiến thức cần dùng

Công thức nồng độ = (khối lượng chất tan) / (thể tích dung dịch). Đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Xét dấu đạo hàm để kết luận tính đơn điệu. Giới hạn tại vô cực để tìm tiệm cận ngang. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức.

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Từ dữ kiện đề bài, lập biểu thức thể tích nước và khối lượng chất khử trùng theo t, tính nồng độ \(f(t)\). Tính đạo hàm \(f'(t)\), xét dấu để kết luận tính đơn điệu. Tính giới hạn \(\lim_{t \to +\infty} f(t)\) để tìm tiệm cận ngang. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị trên \([0; +\infty)\).

Ứng dụng thực tế

Khi pha nước muối để súc miệng, nếu em cứ thêm muối đều đặn vào bình nước đang được rót thêm liên tục, nồng độ muối sẽ tăng dần nhưng không thể vượt qua một ngưỡng nhất định — em có thể tính ngưỡng đó bằng cách nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...