a) Từ phương trình chính tắc, đọc vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow{u_1} = (2; -1; 3)\), \(\overrightarrow{u_2} = (-1; 1; 1)\).
Tính tích vô hướng:
\(\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -2 - 1 + 3 = 0\).
Vì \(\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0\) nên \(\overrightarrow{u_1} \perp \overrightarrow{u_2}\). Vậy hai con đường vuông góc với nhau.
b) \(\Delta_1\) đi qua \(A(1; 0; -1)\), \(\Delta_2\) đi qua \(B(3; -1; 0)\).
Vì \(\dfrac{2}{-1} \neq \dfrac{-1}{1}\) nên \(\overrightarrow{u_1}\) không cùng phương \(\overrightarrow{u_2}\), do đó hai đường không song song và không trùng nhau.
Tính tích có hướng:
\([\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix};\, \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix};\, \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\right)\)
\(= ((-1)\cdot1 - 3\cdot1;\; 3\cdot(-1) - 2\cdot1;\; 2\cdot1 - (-1)\cdot(-1))\)
\(= (-4;\, -5;\, 1)\).
\(\overrightarrow{AB} = (3-1;\, -1-0;\, 0-(-1)) = (2; -1; 1)\).
Tính:
\(\overrightarrow{AB} \cdot [\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}] = (-4)\cdot2 + (-5)\cdot(-1) + 1\cdot1 = -8 + 5 + 1 = -2 \neq 0\).
Vì tích hỗn hợp khác 0 nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau. Vậy nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.
