Đặt A là biến cố: "Thư được chọn là thư rác", B là biến cố: "Thư được chọn bị chặn", \(\overline{B}\) là biến cố: "Thư được chọn không bị chặn".
Từ đề bài: \(P(A) = 0{,}03\), \(P(\overline{A}) = 0{,}97\), \(P(B|A) = 0{,}95\), \(P(B|\overline{A}) = 0{,}01\).
a) Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[P(B) = P(A)\cdot P(B|A) + P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A}) = 0{,}95\cdot 0{,}03 + 0{,}01\cdot 0{,}97 = 0{,}0285 + 0{,}0097 = 0{,}0382.\]
Áp dụng công thức Bayes:
\[P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{0{,}95\cdot 0{,}03}{0{,}0382} = \frac{0{,}0285}{0{,}0382} = \frac{285}{382} \approx 0{,}746.\]
Vậy xác suất để một thư bị chặn là thư rác vào khoảng 74,6%.
b) Từ dữ liệu đã có:
\(P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - P(B|\overline{A}) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\);
\(P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\).
Áp dụng công thức Bayes cho biến cố \(\overline{B}\):
\[P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}|\overline{A})}{P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}|\overline{A}) + P(A)\cdot P(\overline{B}|A)} = \frac{0{,}97\cdot 0{,}99}{0{,}97\cdot 0{,}99 + 0{,}03\cdot 0{,}05}\]
\[= \frac{0{,}9603}{0{,}9603 + 0{,}0015} = \frac{0{,}9603}{0{,}9618} = \frac{3201}{3206} \approx 0{,}998.\]
Vậy xác suất để một thư không bị chặn là thư đúng vào khoảng 99,8%.
c) Tỉ lệ thư đúng trong các thư bị chặn:
\[P(\overline{A}|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{285}{382} = \frac{97}{382} \approx 0{,}254.\]
Vậy khoảng 25,4% thư bị chặn là thư đúng.
Tỉ lệ thư rác trong các thư không bị chặn:
\[P(A|\overline{B}) = 1 - P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 - \frac{3201}{3206} = \frac{5}{3206} \approx 0{,}002.\]
Vậy khoảng 0,2% thư không bị chặn là thư rác.
