Tính vận tốc trung bình của dòng máu trong động mạch

Đề bài:

Vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi được mô hình hóa bởi công thức: \[v = k\left(R^2 - r^2\right)\] trong đó k là hằng số dương. Tìm vận tốc trung bình (theo r) của dòng máu trong động mạch trên đoạn \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho vận tốc dòng máu \(v(r) = k(R^2 - r^2)\) với \(r \in [0, R]\). Cần tính giá trị trung bình của v trên đoạn \([0, R]\), sau đó so sánh với giá trị lớn nhất của v.

Kiến thức cần dùng

Giá trị trung bình của hàm số liên tục \(f(x)\) trên đoạn \([a, b]\) là \(\dfrac{1}{b-a}\int\limits_a^b f(x)\,dx\). Tính tích phân xác định bằng công thức Newton–Leibniz: \(\int\limits_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\). Hàm \(v(r) = k(R^2 - r^2)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = 0\) vì \(r^2 \ge 0\) với mọi \(r \in [0, R]\).

Phương pháp giải

Một cách giải. Áp dụng công thức giá trị trung bình với \(a = 0\), \(b = R\), \(f(r) = k(R^2 - r^2)\). Tính tích phân \(\int\limits_0^R k(R^2 - r^2)\,dr\) rồi chia cho \(R\). Sau đó xác định \(v_{\max}\) tại \(r = 0\) và lập tỉ số \(v_{\max} / v_{tb}\).

Ứng dụng thực tế

Trong y học, bác sĩ cần biết lưu lượng máu trung bình qua động mạch để đánh giá sức khỏe tim mạch — bài toán này chính là nền tảng tính toán đó.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 12. Tích phân

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...