Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx}\).
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Tính tích phân xác định của hàm chứa dấu trị tuyệt đối \(|2x - 3|\) trên đoạn \([0; 3]\).
Kiến thức cần dùng
Tính chất cộng tính phân: \(\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^c f(x)dx + \int\limits_c^b f(x)dx\) với \(a < c < b\). Phá dấu trị tuyệt đối: \(|2x - 3| = 3 - 2x\) khi \(2x - 3 < 0\), và \(|2x - 3| = 2x - 3\) khi \(2x - 3 \geq 0\). Công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
Phương pháp giải
Một cách giải. Tìm điểm mà \(2x - 3 = 0\), tức \(x = \frac{3}{2}\), thuộc \([0; 3]\). Tách tích phân thành hai phần tại điểm đó, phá dấu trị tuyệt đối trên từng đoạn rồi tính từng tích phân.
Ứng dụng thực tế
Khi tính quãng đường thực tế một người đi bộ (không phân biệt chiều), ta cần tính tổng độ lớn các đoạn đường — tương tự như tích phân hàm trị tuyệt đối tính diện tích thực sự giữa đồ thị và trục hoành.