Tính tích vô hướng trong tứ diện đều

Đề bài:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}\) bằng A. \(\dfrac{a^2}{4}\) B. \(\dfrac{a^2}{2}\) C. \(\dfrac{a^2}{3}\) D. \(a^2\)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm CD. Cần tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}\).

Kiến thức cần dùng

Công thức tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{v}|\cdot\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\). Tính chất tam giác đều: đường trung tuyến cũng là đường cao, có độ dài \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Định lý cosin trong tam giác: \(\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).

Phương pháp giải

Chỉ có một cách giải chính. Vì tứ diện đều ABCD có mọi cạnh bằng a, tam giác ACD và tam giác BCD đều là tam giác đều, nên tính được \(AM = BM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Sau đó áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM để tìm \(\cos\widehat{BAM}\), rồi thay vào công thức tích vô hướng.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế kim tự tháp dạng tứ diện đều, kỹ sư cần tính góc giữa một cạnh và đường nối từ đỉnh xuống trung điểm cạnh đáy để xác định lực tác động — bài toán này cho thấy cách tính góc đó thông qua tích vô hướng.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 2

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...