Tính nguyên hàm hàm số mũ

a) Áp dụng công thức \(\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C\) với \(a = 4\): \[\int 4^x\,dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C.\] b) Viết lại \(\dfrac{1}{e^x} = \left(\dfrac{1}{e}\right)^x\), sau đó áp dụng công thức với \(a = \dfrac{1}{e}\): \[\int \frac{1}{e^x}\,dx = \int \left(\frac{1}{e}\right)^x dx = \frac{\left(\frac{1}{e}\right)^x}{\ln\frac{1}{e}} + C.\] Vì \(\ln\dfrac{1}{e} = -1\) và \(\left(\dfrac{1}{e}\right)^x = e^{-x}\), nên: \[\int \frac{1}{e^x}\,dx = -e^{-x} + C.\] c) Dùng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: \[\int \left(2\cdot3^x - \frac{1}{3}\cdot7^x\right)dx = 2\int 3^x\,dx - \frac{1}{3}\int 7^x\,dx\] \[= \frac{2\cdot3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3\ln 7} + C.\]