Tính khoảng cách và góc nghiêng của đáy bể hình lập phương

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O tại một đỉnh đáy bể, mặt phẳng Oxy trùng với đáy bể, các trục Ox, Oy dọc theo hai cạnh đáy, trục Oz hướng thẳng đứng lên (đơn vị: mét). Tọa độ các điểm trên mặt nước (thành phần z là khoảng cách đến đáy, đổi sang mét): \[A(0;1;0{,}4),\quad B(1;1;0{,}44),\quad C(1;0;0{,}48),\quad D(0;0;z).\] Tính: \[\overrightarrow{AB} = (1;0;0{,}04),\quad \overrightarrow{DC} = (1;0;0{,}48-z).\] Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), suy ra: \[0{,}48 - z = 0{,}04 \Rightarrow z = 0{,}44.\] Vậy D(0;0;0,44), khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44 cm. b) Tính vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[\overrightarrow{AC} = (1;-1;0{,}08).\] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): \[\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\] Tính tích có hướng: \[\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 0 & 0{,}04 \\ 1 & -1 & 0{,}08 \end{vmatrix}\] \[= \overrightarrow{i}(0\cdot0{,}08 - 0{,}04\cdot(-1)) - \overrightarrow{j}(1\cdot0{,}08 - 0{,}04\cdot1) + \overrightarrow{k}(1\cdot(-1) - 0\cdot1)\] \[= \overrightarrow{i}(0{,}04) - \overrightarrow{j}(0{,}04) + \overrightarrow{k}(-1)\] \[\Rightarrow \overrightarrow{n} = (0{,}04;-0{,}04;-1).\] Mặt phẳng đáy bể (Oxy) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k} = (0;0;1)\). Góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng đáy: \[\cos\left((ABCD),(Oxy)\right) = \frac{|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{k}|} = \frac{|0\cdot0{,}04 + 0\cdot(-0{,}04) + 1\cdot(-1)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{0{,}04^2+(-0{,}04)^2+(-1)^2}}\] \[= \frac{1}{\sqrt{0{,}0016+0{,}0016+1}} = \frac{1}{\sqrt{1{,}0032}} = \frac{25}{\sqrt{627}}.\] Vậy \(\left((ABCD),(Oxy)\right) \approx 3{,}2^\circ\), tức đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang khoảng \(3{,}2^\circ\).