a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\):
\[\int\limits_1^4 v(t)\,dt = \int\limits_1^4 (t^2 - t - 6)\,dt = \left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right)\Bigg|_1^4\]
\[= \left(\frac{4^3}{3} - \frac{4^2}{2} - 6 \cdot 4\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} - 6 \cdot 1\right)\]
\[= \left(\frac{64}{3} - 8 - 24\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6\right) = \frac{64}{3} - 32 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{9}{2}\]
Vật dịch chuyển \(\dfrac{9}{2}\) m theo chiều âm trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\).
b) Xét dấu của \(v(t) = t^2 - t - 6 = (t-3)(t+2)\) trên \([1;4]\):
- Nghiệm trong đoạn: \(t = 3\).
- Trên \([1;3]\): \(v(t) < 0\), nên \(|v(t)| = -(t^2-t-6)\).
- Trên \([3;4]\): \(v(t) > 0\), nên \(|v(t)| = t^2-t-6\).
Tổng quãng đường:
\[\int\limits_1^4 |v(t)|\,dt = -\int\limits_1^3 (t^2-t-6)\,dt + \int\limits_3^4 (t^2-t-6)\,dt\]
Tính \(\int\limits_1^3 (t^2-t-6)\,dt\):
\[= \left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right)\Bigg|_1^3 = \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6\right) = -\frac{19}{2} + \frac{37}{6} = -\frac{22}{3}\]
Tính \(\int\limits_3^4 (t^2-t-6)\,dt\):
\[= \left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right)\Bigg|_3^4 = \left(\frac{64}{3} - 8 - 24\right) - \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right) = -\frac{16}{3} + \frac{19}{2} = \frac{17}{6}\]
Vậy:
\[\int\limits_1^4 |v(t)|\,dt = -\left(-\frac{22}{3}\right) + \frac{17}{6} = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{44}{6} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6}\]
Tổng quãng đường vật đi được là \(\dfrac{61}{6}\) m.
